1. 正規分布と分位数の基本
正規分布は、統計学と確率論で最もよく使用される確率分布の一つです。その形状は、平均値を中心に左右対称の「ベルカーブ」または「ガウス曲線」と呼ばれる形状をしています。
正規分布の確率密度関数は以下のように定義されます:
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ – \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
$$
ここで、$\mu$は平均（または期待値）、$\sigma$は標準偏差です。
一方、分位数は、確率変数の分布を四等分する値のことを指します。具体的には、データセットを小さい順に並べたときに、下からp%の位置にある値をp分位数と呼びます。例えば、中央値は50%分位数に相当します。
正規分布の分位数は、累積分布関数（CDF）を使用して計算することができます。CDFは、確率変数がある値以下となる確率を与えます。したがって、p分位数は、CDFがpとなるような値として定義されます。
Pythonでは、scipy.stats.normパッケージのppf関数を使用して正規分布の分位数を計算することができます。この関数は、累積分布関数の逆関数であり、分位数（パーセンタイル）を計算します。次のセクションでは、この関数の使用方法について詳しく説明します。
2. Pythonとscipy.stats.normの紹介
Pythonは、その読みやすさと強力なライブラリエコシステムのおかげで、科学計算とデータ分析の分野で非常に人気のある言語です。その中でも、scipyは科学計算のための基本的なツールを提供するライブラリで、統計、最適化、積分、線形代数、フーリエ変換、信号と画像処理、微分方程式の解法など、多岐にわたる機能を持っています。
scipy.stats.normは、scipyライブラリの一部で、正規分布に関連する機能を提供します。以下に、その主なメソッドをいくつか紹介します。
pdf(x, loc, scale): 確率密度関数（PDF）を計算します。locは平均を、scaleは標準偏差を指定します。cdf(x, loc, scale): 累積分布関数（CDF）を計算します。locは平均を、scaleは標準偏差を指定します。ppf(q, loc, scale): パーセント点関数（PPF）または分位数関数を計算します。qは累積確率を、locは平均を、scaleは標準偏差を指定します。
これらのメソッドを使うことで、正規分布の確率密度、累積確率、分位数などを簡単に計算することができます。次のセクションでは、これらのメソッドを使って実際に分位数を計算する方法について詳しく説明します。
3. Pythonとnumpy.quantileの紹介
Pythonのnumpyライブラリは、数値計算を効率的に行うための機能を提供します。その中でも、numpy.quantile関数は、データの分位数を計算するための便利なツールです。
numpy.quantile関数の基本的な使用方法は以下の通りです。
numpy.quantile(a, q, axis=None, out=None, overwrite_input=False, interpolation='linear', keepdims=False)
ここで、各パラメータの意味は以下の通りです。
a: 入力配列。分位数を計算するデータを指定します。q: 分位数を計算するためのパーセンタイル値。0から1の間の値を指定します。axis: 分位数を計算する軸を指定します。指定しない場合は、配列全体の分位数が計算されます。out: 計算結果を格納するための配列を指定します。指定しない場合は、新たに配列が作成されます。overwrite_input: 入力配列を上書きしてメモリを節約するかどうかを指定します。デフォルトはFalseです。interpolation: 分位数を計算する際の補間方法を指定します。デフォルトは’linear’です。keepdims: 出力配列の次元を入力配列と同じに保つかどうかを指定します。デフォルトはFalseです。
この関数を使うことで、データセットの任意のパーセンタイル値に対応する分位数を簡単に計算することができます。次のセクションでは、この関数とscipy.stats.normを組み合わせて、正規分布の分位数を計算する方法について詳しく説明します。
4. scipy.stats.normとnumpy.quantileを使った分位数の計算方法
Pythonのscipy.stats.normとnumpy.quantileを使って、正規分布の分位数を計算する方法を紹介します。
まず、scipy.stats.normのppf関数を使って、正規分布の分位数を計算します。以下にその使用例を示します。
from scipy.stats import norm
# 平均0、標準偏差1の正規分布の50%分位数（中央値）を計算
q = 0.5
mu = 0
sigma = 1
quantile = norm.ppf(q, loc=mu, scale=sigma)
print(quantile)
このコードは、平均0、標準偏差1の正規分布の50%分位数（中央値）を計算します。
次に、numpy.quantile関数を使って、データセットの分位数を計算します。以下にその使用例を示します。
import numpy as np
# データセット
data = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=1000)
# データセットの50%分位数（中央値）を計算
quantile = np.quantile(data, q)
print(quantile)
このコードは、平均0、標準偏差1の正規分布から生成された1000個のデータ点の50%分位数（中央値）を計算します。
以上が、Pythonのscipy.stats.normとnumpy.quantileを使った分位数の計算方法です。これらの関数を使うことで、正規分布やデータセットの任意のパーセンタイル値に対応する分位数を簡単に計算することができます。
5. 実際のデータセットでの分位数の計算
実際のデータセットで分位数を計算する場合も、numpy.quantile関数を使用します。以下にその使用例を示します。
まず、実際のデータセットを準備します。ここでは、平均0、標準偏差1の正規分布から生成された10000個のデータ点を使用します。
import numpy as np
# 平均0、標準偏差1の正規分布からデータを生成
mu = 0
sigma = 1
data = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=10000)
次に、このデータセットの25%分位数（第1四分位数）、50%分位数（中央値）、75%分位数（第3四分位数）を計算します。
# 分位数を計算
q1 = np.quantile(data, 0.25)
median = np.quantile(data, 0.5)
q3 = np.quantile(data, 0.75)
print(f"第1四分位数: {q1}")
print(f"中央値: {median}")
print(f"第3四分位数: {q3}")
このコードは、データセットの第1四分位数、中央値、第3四分位数を計算し、それぞれの値を表示します。
以上が、Pythonのnumpy.quantileを使って実際のデータセットの分位数を計算する方法です。この方法を使うことで、データセットの任意のパーセンタイル値に対応する分位数を簡単に計算することができます。
6. まとめと次のステップ
この記事では、Pythonのscipy.stats.normとnumpy.quantileを使って、正規分布の分位数を計算する方法について説明しました。これらの関数を使うことで、正規分布やデータセットの任意のパーセンタイル値に対応する分位数を簡単に計算することができます。
また、実際のデータセットでの分位数の計算方法についても説明しました。これにより、データ分析や統計解析において、データの分布や変動を理解するための重要なツールを手に入れることができました。
次のステップとしては、これらの知識を活用して、実際のデータ分析プロジェクトに取り組むことをお勧めします。具体的には、様々なデータセットに対して分位数を計算し、その結果を解釈することで、データの特性やパターンを深く理解することができます。
また、Pythonの他の統計関連のライブラリや関数を探索することも有益です。例えば、scipy.statsにはnorm以外にも多くの確率分布関数が含まれており、numpyにもquantile以外にも多くの統計関数が含まれています。これらの関数を使うことで、より複雑な統計解析を行うことができます。
最後に、統計学は広大な分野であり、本記事で紹介した内容はその一部に過ぎません。より深い理解を得るためには、統計学の教科書を読むか、オンラインコースを受講することをお勧めします。